Question

在平面直线坐标系，xOy中，直线l与抛线y²＝2x相交于A、B两点．

(1)求证：如果直线l过点(3，0)，那么·＝3”是真命题．

(2)写出(1)中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：设l：x＝ty＋3，代入抛物线y2＝2x，消去x得y2－2ty－6＝0． 　　设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 　　∴y1＋y2＝2t，y1·y2＝－6， ·＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋3)(ty2＋3)＋y1y2 　　＝t2y1y2＋3t(y1＋y2)＋9＋y1y2 　　＝－6t2＋3t·2t＋9－6＝3． 　　∴·＝3，故为真命题． 　　(2)解：(1)中命题的逆命题是：若·＝3，则直线l过点(3，0)是假命题． 　　设l：x＝ty＋b，代入抛物线y2＝2x，消去x得 　　y2－2ty－2b＝0． 　　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2t，y1·y2＝－2b． 　　∵·＝x1x2＋y1y2 　　＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2 　　＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2 　　＝－2bt2＋bt·2t＋b2－2b＝b2－2b． 　　令b2－2b＝3，得b＝3或b＝－1． 　　此时直线l过点(3，0)或(－1，0)． 　　故逆命题为假命题． 　　点评：本题主要考查直线与抛物线的位置关系、平面向量的数量积运算及四种命题，考查运算能力及利用所学知识与方法解决问题的能力．