题目内容
已知双曲线的中心在原点,以两条坐标轴为对称轴,离心率是2 |
2 |
(Ⅰ)求证:该双曲线的焦点不在y轴上;
(Ⅱ)求双曲线的方程;
(Ⅲ)如果斜率为k的直线L过点M(0,3),与该双曲线交于A、B两点,若
AM |
MB |
1 |
2 |
分析:(1)反证法:假设双曲线的焦点在y轴上,因为双曲线上任一点到点A(2,0)的距离大于点A到渐近线的距离,
而点A到渐近线的距离大于1,这与“双曲线上动点P到A(2,0)的最近距离为1”矛盾,故假设不对.
(2)双曲线的焦点在x轴上,设出方程,待定系数法求方程.
(3)直线方程与双曲线方程联立,化为一元二次方程,应用根与系数的关系、2个向量关系,用λ表示k2,
由λ范围,求k的取值范围.
而点A到渐近线的距离大于1,这与“双曲线上动点P到A(2,0)的最近距离为1”矛盾,故假设不对.
(2)双曲线的焦点在x轴上,设出方程,待定系数法求方程.
(3)直线方程与双曲线方程联立,化为一元二次方程,应用根与系数的关系、2个向量关系,用λ表示k2,
由λ范围,求k的取值范围.
解答:证明:(Ⅰ)设双曲线的实轴长为2a,虚轴长为2b,焦距为2c,
由
,得c=
a,a=b,
∴双曲线的渐近线方程为y=±x.
若双曲线的焦点在y轴上,
则双曲线上任一点到点A(2,0)的距离大于点A到渐近线的距离,
而点A到渐近线的距离d=
>1,
这与“双曲线上动点P到A(2,0)的最近距离为1”矛盾.
所以双曲线的焦点不在y轴上.
方法二:联立双曲线方程y2-x2=a2与圆(x-2)2+y2=1,证明方程组无解.
解:(Ⅱ)由(Ⅰ)知,双曲线的焦点在x轴上,
设双曲线的方程为x2-y2=a2,P(x0,y0),则x02-y02=a2,
|PA|2=(x0-2)2+y02=(x0-2)2+x02-a2=2(x0-1)2+2-a2,
又由
>
得a>1
又当x0=a时,|PA|2有最小值,即2(a-1)2+2-a2=(a-2)2=1,
∴a=3,所以,双曲线的方程为x2-y2=9.
解(Ⅲ):设直线l的方程为y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2)
∵
=λ
(λ>0),∴(-x1,3-y1)=λ(x2,y2-3),∴x1=-λx2(x1x2<0)①,
由
消去y得,(1-k2)x2-6kx-18=0,
x1+x2=
②,x1x2=-
<0 ③
将①分别代入②、③
得,(1-λ)x2=
④λx22=
⑤
④2÷⑤并整理得,k2=1-
(l>0)
令f(l)=
,则f′(λ)=
=
令f′(λ)=0,得 λ=1; 令f′(λ)>0,
得0<l<1;令f′(λ)<0,得l>1
当λ∈[
,2]时,f(
)=
,
f(1)=1,f(2)=
,∴f(λ)∈[
,1]
∴k2∈[0,
],∴k∈[-
,
].(13分)
由
|
2 |
∴双曲线的渐近线方程为y=±x.
若双曲线的焦点在y轴上,
则双曲线上任一点到点A(2,0)的距离大于点A到渐近线的距离,
而点A到渐近线的距离d=
2 |
这与“双曲线上动点P到A(2,0)的最近距离为1”矛盾.
所以双曲线的焦点不在y轴上.
方法二:联立双曲线方程y2-x2=a2与圆(x-2)2+y2=1,证明方程组无解.
解:(Ⅱ)由(Ⅰ)知,双曲线的焦点在x轴上,
设双曲线的方程为x2-y2=a2,P(x0,y0),则x02-y02=a2,
|PA|2=(x0-2)2+y02=(x0-2)2+x02-a2=2(x0-1)2+2-a2,
又由
2a2 |
c |
2 |
又当x0=a时,|PA|2有最小值,即2(a-1)2+2-a2=(a-2)2=1,
∴a=3,所以,双曲线的方程为x2-y2=9.
解(Ⅲ):设直线l的方程为y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2)
∵
AM |
MB |
由
|
x1+x2=
6k |
1-k2 |
18 |
1-k2 |
将①分别代入②、③
得,(1-λ)x2=
6k |
1-k2 |
18 |
1-k2 |
④2÷⑤并整理得,k2=1-
2λ |
λ2+1 |
令f(l)=
2λ |
λ2+1 |
2(λ2+1)-2λ•2λ |
(λ2+1)2 |
-2λ2+2 |
(λ2+1)2 |
令f′(λ)=0,得 λ=1; 令f′(λ)>0,
得0<l<1;令f′(λ)<0,得l>1
当λ∈[
1 |
2 |
1 |
2 |
4 |
5 |
f(1)=1,f(2)=
4 |
5 |
4 |
5 |
∴k2∈[0,
1 |
5 |
| ||
5 |
| ||
5 |
点评:本题考查直线与圆锥曲线的综合应用.
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