题目内容
已知双曲线C的方程为

(I)求m的值;
(II)设过双曲线C上的一点P的直线与双曲线的两条渐近线分别交于P1,P2,且点P分有向线段




【答案】分析:(I)由直线x-my-3=0可知:直线恒过定点焦点F2(3,0).于是直线与双曲线的右支相交,设两点分别为A(x1,y1),B(x2,y2).由双曲线的第二定义可得:
,即
,同理
.于是|AB|=|AF2|+|BF2|=
,由题意可得:
,由直线过焦点F2(3,0),可知x1=x2=3,此时直线垂直于x轴,即可得出m的值.
(II)利用线段的定比分点坐标公式即可得出点P的坐标用P1,P2的坐标表示,代入双曲线的方程即可得出x1x2,进而得出|
||
|的最值.
解答:解:(I)由双曲线C的方程为
-
=1可得a=2,
,
∴c=3,
.
左右焦点分别为F1(-3,0),F2(3,0).
由直线x-my-3=0可知:直线恒过定点焦点F2(3,0).
于是直线与双曲线的右支相交,设两点分别为A(x1,y1),B(x2,y2).
由双曲线的第二定义可得:
,即
,同理
.
∴|AB|=|AF2|+|BF2|=
,由题意可得:
,∴|x1+x2|=6,
由直线过焦点F2(3,0),可知x1=x2=3,
此时直线垂直于x轴,∴m=0.
(II)双曲线C的渐近线方程分别为l1:
,l2:
.
设P(x,y),P1(x1,y1),P2(x2,y2).
且点P分有向线段
所成的比为λ(λ>0).
则
,
,
,
.
由点P(x,y)在双曲线
上,∴
,
化简得
,又
=
,同理可得:
,
∴
,
令u(x)=
,
又u(λ)在(0,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,而λ∈
,
∴u(λ)min=u(1)=4,u(λ)max=
=
.
于是:
的最大值为
,最小值为9.
点评:熟练掌握双曲线的标准方程及其性质、线段的定比分点坐标公式、函数的单调性等是解题的关键.





(II)利用线段的定比分点坐标公式即可得出点P的坐标用P1,P2的坐标表示,代入双曲线的方程即可得出x1x2,进而得出|


解答:解:(I)由双曲线C的方程为



∴c=3,

左右焦点分别为F1(-3,0),F2(3,0).
由直线x-my-3=0可知:直线恒过定点焦点F2(3,0).
于是直线与双曲线的右支相交,设两点分别为A(x1,y1),B(x2,y2).
由双曲线的第二定义可得:



∴|AB|=|AF2|+|BF2|=


由直线过焦点F2(3,0),可知x1=x2=3,
此时直线垂直于x轴,∴m=0.
(II)双曲线C的渐近线方程分别为l1:


设P(x,y),P1(x1,y1),P2(x2,y2).
且点P分有向线段

则




由点P(x,y)在双曲线


化简得




∴

令u(x)=

又u(λ)在(0,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增,而λ∈

∴u(λ)min=u(1)=4,u(λ)max=


于是:


点评:熟练掌握双曲线的标准方程及其性质、线段的定比分点坐标公式、函数的单调性等是解题的关键.

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