Question

设奇函数f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0+∞），且在（0，+∞）上为增函数．
（1）若f（1）=0，解关于x的不等式：f（1+log_ax）＞0（0＜a＜1）．
（2）若f（-2）=-1，当m＞0，n＞0时，恒有f=f（m）+f（n），求|f（t）+1|＜1时，t的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知可得，当x＞1或-1＜x＜0时，f（x）＞0；当0＜x＜1或x＜-1时，f（x）＜0，则由f（1+log_ax）＞0可得1+log_ax＞1或-1＜1+log_ax＜0可求
（2）由奇函数性质可得f（2）=-f（-2）=1又由m＞0，n＞0时，恒有f（m•n）=f（m）+f（n），可求f（4）=2，f（-4）=-2，f（1）=f（-1）=0，从而可把|f（t）+1|＜1转化为-2＜f（t）＜0可求
解答：解：（1）∵奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，则在（-∞，0）也单调递增
∵f（1）=-f（-1）=0
∴f（-1）=0
当x＞1或-1＜x＜0时，f（x）＞0；
当0＜x＜1或x＜-1时，f（x）＜0
∵f（1+log_ax）＞0
∴1+log_ax＞1或-1＜1+log_ax＜0
∵0＜a＜1
∴0＜x＜1或a^-1＜x＜2^-2
（2）∵f（-2）=-1
∴f（2）=-f（-2）=1
∵m＞0，n＞0时，恒有f（m•n）=f（m）+f（n），
∴f（4）=2f（2）=2，f（-4）=-2，f（1）=2f（1），则f（1）=-f（-1）=0
∵|f（t）+1|＜1
∴-2＜f（t）＜0
∴-4＜t＜-1
点评：本题主要考查函数的单调性和奇偶性的综合运用．在运用抽象函数时，要注意赋值法的应用，本题具有一定的综合性