Question

过抛物线y²=2x的焦点作一条直线与抛物线交于两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线（　　）

• A、有且只有一条
• B、有且只有两条
• C、有且只有三条
• D、有且只有四条

Answer 1

分析：过抛物线y²=2x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，先看直线AB斜率不存在时，横坐标之和等于1，不适合；若直线斜率存在时，利用横坐标之和等于2，进而设直线AB为y=k（x-1）与抛物线方程联立消去y，进而根据伟大定理表示出A、B两点的横坐标之和，进而求得k．得出结论．

解答：解：过抛物线y²=2x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，
若直线AB的斜率不存在，则横坐标之和等于1，不适合．
若直线斜率存在时，设直线AB的斜率为k，则直线AB为y=k（x-

1

2

）
代入抛物线y²=2x得，k²x²-（k²+2）x+

1

4

k²=0
∵A、B两点的横坐标之和等于2，
∴

k2+2

k2

=2，k²=2，k=±

2

则这样的直线有且仅有两条，
故选B．

点评：本题主要考查了抛物线的应用．解题的时候要注意讨论直线斜率不存在时的情况，以免遗漏．