Question

过抛物线y²=2x的焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，若

1

|AF|

-

1

|BF|

=1，则直线l的倾斜角θ(0＜θ≤

π

2

)等于（　　）

• A、

  π

  2

• B、

  π

  3

• C、

  π

  4

• D、

  π

  6

Answer 1

分析：设出点的坐标与直线的方程，利用抛物线的定义表示出

1

|AF|

-

1

|BF|

=1，再联立直线与抛物线的方程利用根与系数的关系解决问题，即可得到答案．

解答：解：由题意可得：F（

1

2

，0）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
因为过抛物线y²=2x的焦点F作直线l交抛物线于A、B两点，
所以|AF|=

1

2

+x1，|BF|=

1

2

+x2．
又因为

1

|AF|

-

1

|BF|

=1，
所以|AF|＜|BF|，即x₁＜x₂，并且直线l的斜率存在．
设直线l的方程为y=k（x-

1

2

），
联立直线与抛物线的方程可得：k2x2-(k2+2)x+

k2

4

=0，
所以x1+x2=

k2+2

k2

，x1x2=

1

4

．
因为

1

|AF|

-

1

|BF|

=1，所以整理可得

(x1+x2)2-4x1x2

1 4 + 1 2 (x1+x2)+ x1x2

=1，
即整理可得k⁴-2k²-3=0，
所以解得k²=3．
因为0＜θ≤

π

2

，所以k=

3

，即θ=

π

3

．
故选B．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握抛物线的定义，以及掌握直线与抛物线位置关系，并且结合准确的运算也是解决此类问题的一个重要方面．