题目内容
已知数列{an}的前n项和为Sn,且an=![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124533127160004/SYS201310251245331271600017_ST/0.png)
(1)求出:a1,a2,a3的值
(2)证明:数列{3+an}是等比数列,并求出数列{an}的通项公式;
(3)设bn=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124533127160004/SYS201310251245331271600017_ST/1.png)
【答案】分析:(1)由已知可得Sn=2an-3n,进而得an+1=Sn+1-Sn=2an+3,代入计算,可求a1,a2,a3的值;
(2)由an+1+3=2(an+3),可得数列{an+3}是等比数列,从而可求数列{an}的通项公式;
(3)由(2)可知bn=
an=n2n-n,由错位相减法可求数列{bn}的前n项和Bn;先假设存在,由题意可得2m+2q=2n+2p,即1+2q-m=2n-m+2p-m,推出矛盾.
解答:(1)解:由an=
(3n+Sn)可得Sn=2an-3n,故an+1=Sn+1-Sn=2an+3
∵a1=
(3+S1),∴a1=3,∴a2=9,a3=21;
(2)证明:由待定系数法得an+1+3=2(an+3)
又a1+3=6≠0
∴数列{an+3}是以6为首项,2为公比的等比数列.
∴an+3=6×2n-1,
∴an=3(2n-1).
(3)解:由(2)可得bn=n2n-n,
∴Bn=1×21+2×22+3×23+…+n×2n-(1+2+3+…+n) ①
∴2Bn=1×22+2×23+3×24+…+n×2n+1-2(1+2+3+…+n) ②
①-②得,-Bn=2+(22+23+…+2n)+![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124533127160004/SYS201310251245331271600017_DA/3.png)
化简可得Bn=2+(n-1)2n+1-![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124533127160004/SYS201310251245331271600017_DA/4.png)
假设数列{an}存在构成等差数列的四项依次为:am、an、ap、aq(m<n<p<q)
则3(2m-1)+3(2q-1)=3(2n-1)+3(2p-1)∴2m+2q=2n+2p.
上式两边同除以2m,则1+2q-m=2n-m+2p-m
∵m、n、p、q∈N*,且m<n<p<q,
∴上式左边是奇数,右边是偶数,相矛盾.
∴数列{an}不存在构成等差数列的四项.
点评:本题为数列的综合应用,考查数列的通项与求和,考查反证法的运用,由和求通项公式,错位相减法求和是解题的关键,属中档题.
(2)由an+1+3=2(an+3),可得数列{an+3}是等比数列,从而可求数列{an}的通项公式;
(3)由(2)可知bn=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124533127160004/SYS201310251245331271600017_DA/0.png)
解答:(1)解:由an=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124533127160004/SYS201310251245331271600017_DA/1.png)
∵a1=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124533127160004/SYS201310251245331271600017_DA/2.png)
(2)证明:由待定系数法得an+1+3=2(an+3)
又a1+3=6≠0
∴数列{an+3}是以6为首项,2为公比的等比数列.
∴an+3=6×2n-1,
∴an=3(2n-1).
(3)解:由(2)可得bn=n2n-n,
∴Bn=1×21+2×22+3×23+…+n×2n-(1+2+3+…+n) ①
∴2Bn=1×22+2×23+3×24+…+n×2n+1-2(1+2+3+…+n) ②
①-②得,-Bn=2+(22+23+…+2n)+
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124533127160004/SYS201310251245331271600017_DA/3.png)
化简可得Bn=2+(n-1)2n+1-
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025124533127160004/SYS201310251245331271600017_DA/4.png)
假设数列{an}存在构成等差数列的四项依次为:am、an、ap、aq(m<n<p<q)
则3(2m-1)+3(2q-1)=3(2n-1)+3(2p-1)∴2m+2q=2n+2p.
上式两边同除以2m,则1+2q-m=2n-m+2p-m
∵m、n、p、q∈N*,且m<n<p<q,
∴上式左边是奇数,右边是偶数,相矛盾.
∴数列{an}不存在构成等差数列的四项.
点评:本题为数列的综合应用,考查数列的通项与求和,考查反证法的运用,由和求通项公式,错位相减法求和是解题的关键,属中档题.
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练习册系列答案
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A、16 | B、8 | C、4 | D、不确定 |