Question

设集合W由满足下列两个条件的数列{a_n}构成：
①

an+an+2

2

＜an+1；②存在实数M，使a_n≤M．（ n为正整数）
（Ⅰ）在只有5项的有限数列{a_n}、{b_n}中，其中a₁=1，a₂=2，a₃=3，a₄=4，a₅=5；b₁=1，b₂=4，b₃=5，b₄=4，b₅=1，试判断数列{a_n}、{b_n}是否为集合W中的元素；
（Ⅱ）设{c_n}是等差数列，S_n是其前n项和，c₃=4，S₃=18，证明数列{S_n}∈W；并写出M的取值范围；
（Ⅲ）设数列{d_n}∈W，且对满足条件的常数M，存在正整数k，使d_k=M．
求证：d_k+1＞d_k+2＞d_k+3．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要判断数列不为集合中的元素，只需要在数列中找一个元素不是集合中的元素即可．要判断数列为集合中的元素，需要严格证明，对于数列{b_n}，当n?{1，2，3，4，5}时，看数列{b_n}是否满足集合W的条件①②即可．
（Ⅱ）是证明题．要证明数列{S_n}∈W，首先利用题中的条件：{c_n}是等差数列，S_n是其前n项和，c₃=4，S₃=18确定出数列{S_n}，然后再证明满足①②即可．
（Ⅲ）也是证明题．要求证d_k+1＞d_k+2＞d_k+3，数列{d_n}∈W所以满足W的两个条件，得到

dk+dk+2

2

＜dk+1．整理得d_k+2＜d_k+1+（d_k+1-d_k）=d_k+1+（d_k+1-M），因为d_k=M，得到d_k+1≤M，即d_k+2＜d_k+1；又因为

dk+1+dk+3

2

＜dk+2，得到d_k+3＜d_k+2+（d_k+2-d_k+1）＜d_k+2，整理可得证．

解答：解：（Ⅰ）对于数列{a_n}，当n=1时，

a1+a3

2

=2=a₂，
显然不满足集合W的条件①，故{a_n}不是集合W中的元素．（2分）
对于数列{b_n}，当n={1，2，3，4，5}时，
不仅有

b1+b3

2

=3＜b2，

b2+b4

2

=4＜b3，

b3+b5

2

=3＜b4，
而且有b_n≤5，显然满足集合W的条件①②，故{b_n}是集合W中的元素．（4分）
（Ⅱ）∵{c_n}是等差数列，S_n是其前n项和，c₃=4，S₃=18，设其公差为d，
∴c₃-2d+c₃-d+c₃=18，
∴d=-2
∴c_n=c₃+（n-3）d=-2n+10，S_n=-n²+9n（7分）
∵

Sn+Sn+2

2

-Sn+1=-1＜0，∴

Sn+Sn+2

2

＜Sn+1；
∵Sn=-(n-

9

2

)2+

81

4

，∴S_n的最大值是S₄=S₅=20，即S_n≤S₄=20．
∴{S_n}∈W，且M的取值范围是[20，+∞）（9分）
（Ⅲ）证明：∵{d_n}∈W，∴

dk+dk+2

2

＜dk+1，
整理d_k+2＜d_k+1+（d_k+1-d_k）=d_k+1+（d_k+1-M），
∵d_k=M，∴d_k+1≤M，∴d_k+2＜d_k+1；
又∵

dk+1+dk+3

2

＜dk+2，∴d_k+3＜d_k+2+（d_k+2-d_k+1）＜d_k+2，
∴d_k+1＞d_k+2＞d_k+3．（14分）

点评：此题考查运用题中定义的函数解决问题的能力，以及数列与集合关系的判断．