Question

（本小题满分12分）

已知数列，满足：，当时，；对于任意的正整数，

．设数列的前项和为.

（Ⅰ）计算、，并求数列的通项公式；

（Ⅱ）求满足的正整数的集合.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ） 

【解析】（1）由，当时，；令可求出猜想用数学归纳法证明.或者判断数列是等差数列求解；（2）由和，两式相减结合可求出错位相减法求出，解不等式，即解得.

（Ⅰ）在中，取，得，又，故 

同样取，可得 

由及两式相减，可得，

所以数列的奇数项和偶数项各自成等差数列，公差为，而，

故是公差为的等差数列，   ……………………………………………… （6分）

(注：猜想而未能证明的扣分；用数学归纳法证明不扣分.)

（Ⅱ）在中，令，得

由与两式相减，可得，

化简，得.

即当时，.

经检验也符合该式，所以的通项公式为.

∴.

.

两式相减，得.

利用等比数列求和公式并化简,得.

可见，对，.经计算，，

注意到数列的各项为正，故单调递增，

所以满足的正整数的集合为  ……………………………… （12分）