Question

7．已知函数f（x）=2x³+ax²+bx+3在x=-1和x=2处都取得极值．
（1）求f（x）的表达式和极值；
（2）若f（x）=m有三个根，求m的取值范围；
（3）若f（x）在区间[m，m+4]上是单调函数，求m的范围．

Answer 1

分析 （1）求出导函数，利用导数在极值点处的值为0，列出方程组，求出a，b，代入f（x）和f′（x）；令f′（x）＞0求出x的范围即为递增区间，令f′（x）＜0求出x的范围为递减区间，并利用极值的定义求出极值．
（2）由（1）知，f（x）=m有三个根，则-17＜m＜10；
（3）根据题意，令[m，m+4]在（-∞，-1）内或在（2，+∞）内或在（-1，2）内，列出不等式组，求出m的范围．

解答 解：（1）∵f′（x）=6x²+2ax+b
由已知有f（-1）=0，f'（2）=0，即$\left\{\begin{array}{l}{6-2a+b=0}\\{24+4a+b=0}\end{array}\right.$…（3分）
解得a=-3，b=-12，
∴f（x）=2x³+x²-12x+3，
f′（x）=6x²-6x-12=6（x-2）（x+1）
故f（x）在（-∞，-1）和（2，+∞）上为增函数，在（-1，2）为减函数
故f（x）在x=-1取极大值，f（-1）=10，x=22上取极小值f（2）=-17；
（2）由（1）知，f（x）=m有三个根，则-17＜m＜10；
（3）由（1）知，f（x）在区间[m，m+4]上是单调函数，需m+4≤-1或$\left\{\begin{array}{l}{m≥-1}\\{m+4≤2}\end{array}\right.$或m≥2
所以m≤-5或m≥2．

点评 本题考查函数在极值点处的导数值为0、考查利用导函数的符号判断函数的单调性、考查极值的求法、考查函数在其单调区间的子集上都是单调的．