题目内容
【题目】已知
，
分别是
的边
，
上的一点，
，将
沿
折起为
，使
点位于
点的位置，连接
，
，
.
（1）若，分别是，的中点，平面
与平面
的交线为
，证明：
；
（2）若平面
平面
，与的面积分别为4和9，
，求三棱锥
的体积.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
（1）根据图形的关系可得
，从而得到角的关系
，即
，同理得
，根据线面垂直判定定理可得
平面
，即可得到
，由线面平行性质定理可得
，进而得结论；
（2）过点
在平面
内作
，垂足为
，交
于
，连接
，
，运用面面垂直的性质定理以及线面垂直的判断和性质，结合三角形的面积公式和三角形的相似，以及勾股定理和棱锥的体积公式，计算可得所求值.
（1）因为
，
分别是
，
的中点，
沿折起为
，
所以，
所以
，
，
所以，所以.
又
，同理有，
而
，所以平面.
而
平面，所以，
又
为平面与平面
的交线，所以
，所以
.
（2）如图所示，过点在平面内作，垂足为，交于，连接，.
因为平面
平面，所以
平面.而
平面，所以
.
由
，易知
，而沿折起为，所以
.
所以
平面
，所以
，由此
，
所以
平面
，而平面，所以
.
由已知，与
的面积分别为4和9，
，易求
，
由
，可得
，所以
，
在
中，
，
.
所以
，
故三棱锥
的体积
.
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