题目内容

若函数f（a）=
∫
a
0
(2+sinx)dx，则f[f（
π
2
）-1]=
2π+2
2π+2
．
分析：根据积分计算公式，求出被积函数2+sinx的原函数，由微积分基本定理算出f（a）=2a+1-cosa，由此即可算出f[f（
π
2
）-1]的值，得到本题答案．
解答：解：由定积分计算公式，可得
∫
a
0
(2+sinx)dx=（2x-cosx）
|
a
0
=（2a-cosa）-（-cos0）=2a+1-cosa，
∴f（a）=
∫
a
0
(2+sinx)dx=2a+1-cosa，
由此可得f（
π
2
）-1=π+1-cos
π
2
=π，
∴f[f（
π
2
）-1]=f（π）=2π+1-cosπ=2π+2．
故答案为：2π+2
点评：本题求一个函数的原函数，并依此求定积分值和特殊的函数值，考查了三角函数值计算、定积分的运算和微积分基本定理等知识，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
若函数f(x)=
a•2x-a-12x-1
为奇函数．
（1）求函数的定义域；          
（2）确定实数a的值；
（3）判断函数f（x）在区间（0，+∞）上的单调性并用定义证明．
若函数f（x）=x2+2（a+1）x+2在区间（-∞，4]上是减函数，则实数a的取值范围是（　　）
设定义在R上的函数f（x）满足（1）当m，n∈R时，f（m+n）=f（m）•f（n）；（2）f（0）≠0；（3）当x＜0时，f（x）＞1，则在下列结论中：
①f（a）•f（-a）=1；
②f（x）在R上是递减函数；
③存在x0，使f（x0）＜0；
④若f(2)=
2
，则f(
1
4
)=
1
4
，f(
1
6
)=
1
6
；
正确结论的个数是（　　）
若函数f（x）=x3+x2-2x-2正整数为零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：
f（1）=-2，f（1.5）=0.65，f（1.25）=-0.984，f（1.375）=-0.260，f（1.4375）=0.162．f（1.40625）=-0.054．
则方程x3+x2-2x-2=0的一个近似值（精确到0.1）为（　　）
（2011•潍坊二模）已知函数f（x）=a（x-
1
x
）-2lnx，g（x）=x2．
（I）若函数f（x）在其定义域上为增函数，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若函数f（x）与g（x）的图象在其一公共点处存在公切线，证明：a=2e
a2
8
-1．

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