Question

已知数列｛a_n｝满足条件：a₁=1，a₂=r（r＞0）且｛a_n·a_n+1｝是公比为q（q＞0）的等比数列，设b_n=a_2n－1+a_2n（n=1，2，…）

（Ⅰ）求出使不等式a_na_n+1+a_n+1a_n+2＞a_n+2a_n+2（n∈N^*）成立的q的取值范围；

（Ⅱ）求b_n和，其中S_n=b₁+b₂+…+b_n；

（Ⅲ）设r=2^19．2－1，q=，求数列｛｝的最大项和最小项的值.

 

Answer 1

答案：
解析：

解：（Ⅰ）由题意得rqn－1+rqn＞rqn+1 由题设r＞0，q＞0，故上式q2－q－1＜0 所以， 由于q＞0，故0＜q＜ （Ⅱ）因为 所以=q≠0 b1=1+r≠0，所以｛bn｝是首项为1+r，公比为q的等比数列， 从而bn=（1+r）qn－1 当q=1时，Sn=n（1+r） 当0＜q＜1时，Sn= 当q＞1时，Sn= 综上所述  （Ⅲ）由（Ⅱ）知bn=（1+r）qn－1 从上式可知当n－20.2＞0时n≥21（n∈N）时，cn随n的增大而减小，故 1＜cn＜c21=1+=2.25　　　　　　   ① 当n－20.2＜0，即n≤20（n∈N）时，cn也随着n的增大而减小，故 1＞cn＞c20=1+　　　　　　  ② 综合①、②两式知对任意的自然数n有c20≤cn≤c21 故｛cn｝的最大项c21=2.25，最小项c20＝－4．