题目内容

已知函数y=x+
a
x
有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在(0，
a
]上是减函数，在[
a
，+∞)上是增函数．
（1）如果函数y=x+
3m
x
(x＞0)的值域是[6，+∞），求实数m的值；
（2）求函数f(x)=x2+
a
x2
（a＞0）在x∈[1，2]上的最小值g（a）的表达式．
分析：（1）函数y=x+
3m
x
(x＞0)在(0，
3m
]上是减函数，在[
3m
，+∞)上是增函数，根据函数y=x+
3m
x
(x＞0)的值域是[6，+∞），即可求实数m的值；
（2）令x2=t，从而问题可转化为f（t）在[1，4]上的最小值，分类讨论：1°当
a
＞4，即a＞16时，f（t）在[1，4]上是减函数；2°当1≤
a
≤2，即1≤a≤16时，g(a)=f(
a
)=2
a
；3°当
a
＜1，即0＜a＜1时，f（t）在[1，4]上是增函数，故可求最小值g（a）的表达式．
解答：解：（1）由已知，函数y=x+
3m
x
(x＞0)在(0，
3m
]上是减函数，在[
3m
，+∞)上是增函数，
∴ymin=
3m
+
3m
3m
=2
3m
，…（4分）
∴2
3m
=6，∴3m=9，
∴m=2．…（6分）
（2）令x2=t，∵x∈[1，2]，
∴t∈[1，4]，f(t)=t+
a
t
，
原题即求f（t）在[1，4]上的最小值．…（7分）
1°当
a
＞4，即a＞16时，f（t）在[1，4]上是减函数，此时g(a)=f(4)=4+
a
4
，…（9分）
2°当1≤
a
≤2，即1≤a≤16时，g(a)=f(
a
)=2
a
，
3°当
a
＜1，即0＜a＜1时，f（t）在[1，4]上是增函数，此时g（a）=f（1）=1+a．…（13分）
∴g（a）=
1+a，0＜a＜1
2
a
，1≤a≤16
4+
a
4
，a＞16
点评：本题考查函数的最值，考查函数的单调性，解题的关键是利用函数的单调性，解决函数的最值问题．
练习册系列答案
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已知函数y=x+
a
x
有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在（0，
a
]上是减函数，在[
a
，+∞）上是增函数．
（Ⅰ）如果函数y=x+
2b
x
（x＞0）的值域为[6，+∞），求b的值；
（Ⅱ）研究函数y=x2+
c
x2
（常数c＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；
（Ⅲ）对函数y=x+
a
x
和y=x2+
a
x2
（常数a＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数F（x）=（x2+
1
x
）n+（
1
x2
+x）n（n是正整数）在区间[
1
2
，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．
已知函数y=x+
a
x
旦（a＞0）有如下的性质：在区间（0，
a
]上单调递减，在[
a
，+∞）上单调递增．
（1）如果函数f（x）=x+
2b
x
在（0，4]上单调递减，在[4，+∞）上单调递增，求常数b的值．
（2）设常数a∈[l，4]，求函数y=x+
a
x
在x∈[l，2]的最大值．
已知函数y=x+
a
x
有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在（0，
a
上是减函数，在
a
，+∞）上是增函数．
（1）如果函数y=x+
2b
x
在（0，4）上是减函数，在（4，+∞）上是增函数，求实常数b的值；
（2）设常数c∈1，4，求函数f（x）=x+
c
x
（1≤x≤2）的最大值和最小值．
已知函数y=x+
a
x
（x＞0）有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在（0，
a
]上是减函数，在[
a
，+∞）上是增函数．
（1）如果函数y=x+
b2
x
（x＞0）的值域为[6，+∞），求b的值；
（2）研究函数y=x2+
c
x2
（x＞0，常数c＞0）在定义域内的单调性，并用定义证明（若有多个单调区间，请选择一个证明）；
（3）对函数y=x+
a
x
和y=x2+
a
x2
（x＞0，常数a＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数F（x）=(x2+
1
x
)2+(
1
x2
+x)2在区间[
1
2
，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．
已知函数y=x+
a
x
有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在(0，
a
]上是减函数，在[
a
，+∞)上是增函数，
（1）如果函数y=x+
3m
x
(x＞0)的值域是[6，+∞），求实数m的值；
（2）研究函数f(x)=x2+
a
x2
（常数a＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；
（3）若把函数f(x)=x2+
a
x2
（常数a＞0）在[1，2]上的最小值记为g（a），求g（a）的表达式．

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