题目内容

如图，△ABC是斜边为2的等腰直角三角形，点M，N分别为AB、AC上的点，过M、N的直线l将该三角形分成周长相等的两部分．
（1）问AM+AN是否为定值？请说明理由．
（2）如何设计，方能使四边形BMNC的面积最小？

解：（1）△ABC是斜边为2的等腰直角三角形
∴AB=AC= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∵M N分别为AB AC 上的点，过MN的直线将该三角形分成周长相等的两个部分
∴AM+AN+MN=MB+BC+NC+MN
∴AM+AN=MB+BC+NC
又（AM+AN）+（MB+BC+NC）=AM+MB+BC+AN+NC=AB+BC+AC=2+2 $\text{[math]}$
∴AM+AN=MB+BC+NC= $\text{[math]}$ +1
∴AM+AN为定值
（2）当△AMN面积最大时，四边形BMNC面积最小
AM+AN= $\text{[math]}$ +1
令AM=x，则AN= $\text{[math]}$ +1-x
S_△AMN= $\text{[math]}$ AM×AN= $\text{[math]}$ x（ $\text{[math]}$ +1-x）=- $\text{[math]}$ [x²-（ $\text{[math]}$ +1）x]
当x= $\text{[math]}$ 时，S_△AMN有最大值，四边形BMNC面积最小
即当AM=AN= $\text{[math]}$ 时，四边形BMNC面积最小
分析：（1）先求出腰长，然后根据过MN的直线将该三角形分成周长相等的两个部分可求出AM+AN的值；
（2）当△AMN面积最大时，四边形BMNC面积最小，利用二次函数的性质求出S_△AMN有最大值，从而求出何时四边形BMNC面积最小．
点评：本题主要考查了二次函数的最值，同时考查了计算能力和分析能力，以及转化的思想，属于中档题．