题目内容
（2009•闵行区一模）已知以角B为钝角的△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，
=(a， 2b)，
=(
， -sinA)，且
⊥
．
（1）求角B的大小；
（2）求sinA+
cosA的取值范围．
| m |
| n |
| 3 |
| m |
| n |
（1）求角B的大小；
（2）求sinA+
| 3 |
分析：（1）两个向量垂直的充要条件是它们的数量积等于零，因此
•
=
a-2bsinA=0，将此式用正弦定理变成适于sinA、sinB的等式，两边约去sinA，可得sinB的值，再结合三角形内角的条件，可得角B的大小；
（2）将式子sinA+
cosA化简，合并为2sin(A+
)．由（1）得B=
，根据三角形内角和定理，可得角A∈(0，
)，最后结合函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质，可得sinA+
cosA的取值范围．
| m |
| n |
| 3 |
（2）将式子sinA+
| 3 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 3 |
解答：解：（1）∵
⊥
．∴
•
=0，
得
a-2bsinA=0（2分）
由正弦定理，得a=2RsinA，b=2RsinB，代入得：（3分）
sinA-2sinBsinA=0，sinA≠0，∴sinB=
，（ 5分）
因为B为钝角，所以角B=
．（7分）
（2）∵sinA+
cosA=2sin(A+
)，（10分）
由（1）知 A∈(0，
)，A+
∈(
，
)，
∴sin(A+
)∈(
，1]，（12分）
故sinA+
cosA的取值范围是(
，2]（14分）
| m |
| n |
| m |
| n |
得
| 3 |
由正弦定理，得a=2RsinA，b=2RsinB，代入得：（3分）
| 3 |
| ||
| 2 |
因为B为钝角，所以角B=
| 2π |
| 3 |
（2）∵sinA+
| 3 |
| π |
| 3 |
由（1）知 A∈(0，
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
∴sin(A+
| π |
| 3 |
| ||
| 2 |
故sinA+
| 3 |
| 3 |
点评：本题以三角函数为载体，考查了向量的数量积等知识，属于中档题．灵活运用三角形内角和的条件，并结合三角函数的性质是解决本题的关键．
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