题目内容

已知直线l：y=kx+b，曲线M：y=|x²-2|．
（1）若k=1，直线与曲线恰有三个公共点，求实数b的值；
（2）若b=1，直线与曲线M的交点依次为A，B，C，D四点，求 $数学公式$ 的取值范围．

解：（1）分两种情况：
①直线y=x+b与抛物线y=-x²+2在（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）内相切，即方程x²+x+b-2=0在（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）内有△=0，
由△=1-4b+8=0，得 $\text{[math]}$ ，符合．
②直线y=x+b过点（- $\text{[math]}$ ，0），即0=- $\text{[math]}$ +b，得 $\text{[math]}$ ．
综上知， $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$
（2）根据直线y=kx+1与曲线M有四个交点可得 $\text{[math]}$
由 $\text{[math]}$ ，得x²-kx-3=0，
则有： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．
由 $\text{[math]}$ ，得x²+kx-1=0，
则有： $\text{[math]}$ ，其中 $\text{[math]}$ ．
所以 $\text{[math]}$
=（k²+1）（k²+12）-（k²+1）（k²+4）=8（k²+1），
∵ $\text{[math]}$ ，∴8（k²+1）∈[8，12），
∴ $\text{[math]}$
分析：（1）分两种情况：①直线y=x+b与抛物线y=-x²+2在（- $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）内相切；②直线y=x+b过点（- $\text{[math]}$ ，0），即可确定实数b的值；
（2）根据直线y=kx+1与曲线M有四个交点确定k的范围，由 $\text{[math]}$ ，计算|AD|；由 $\text{[math]}$ ，计算|BC|，利用 $\text{[math]}$ ，即可求得结论．
点评：本题考查带绝对值的函数，考查直线与曲线的位置关系，考查向量知识的运用，正确转化是关键．