题目内容

在连续自然数100,101,102,…,999中,对于{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},取三个不同且不相邻的数字按递增或递减的顺序排成的三位数有
91
91
个.
分析:分两类:①这个三位数的排列从左向右递减时,若有0,则0在个位. 求得从10个数字中选3个不相邻数字,不同的情况共有
C
3
8
种.
②这个三位数的排列从左向右递增时,不能有0,则应从1到9的9个数字中,选3个不相邻的数字,同①有
C
3
7
种. 把得到的这两个数相加,即得所求.
解答:解:把这些数分两类:①当这个三位数从左到右递减时,若有0,则0在个位,符合要求.
从10个数字中选3个不相邻数字,相当于从所给的10个位置中选3个不相邻的位置.
故可将要选的3个位置插在其余的7个位置形成的8个空位之中,故不同的三位数共有
C
3
8
 种.
②当这个三位数从左到右递增时,每个位上不能有0.
则应从1到9的9个数字中,选3个不相邻的数字.
这相当于从所给的9个位置中选3个不相邻的位置.
故可将要选的3个位置插在其余6个位置形成的7个空位之中,故不同的三位数有
C
3
7
 种,
综上,所求的三位数有:
C
3
8
+
C
3
7
=91(个),
故答案为 91.
点评:本题主要考查排列、组合以及简单计数原理的应用,体现了分类讨论和等价转化的数学思想,属于中档题.
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