题目内容

(本小题满分12分)

已知直线l:y=x,圆C1的圆心为(3,0),且经过(4,1)点.

(1)求圆C1的方程;

(2)若圆C2与圆C1关于直线l对称,点A、B分别为圆C1、C2上任意一点,求|AB|的最小值;

(3)已知直线l上一点M在第一象限,两质点P、Q同时从原点出发,点P以每秒1个单位的速度沿x轴正方向运动,点Q以每秒个单位沿射线OM方向运动,设运动时间为t秒.问:当t为何值时直线PQ与圆C1相切?

 

【答案】

(1)(2)(3)

【解析】

试题分析:(Ⅰ)依题意,设圆的方程为 ………1分

∵ 圆经过点

∴   …………2分

∴ 圆的方程为  …………3分

(Ⅱ)方法一:由(Ⅰ)可知,圆的圆心的坐标为,半径为 

到直线的距离

   …………5分

∴ 圆到直线的最短距离为 …………6分

∵ 圆与圆关于直线对称

∴ .     …………7分

方法二:∵圆与圆关于直线对称.

∴ 圆圆心为(0,3),半径为 ……………5分

∴ ||=

∴ =-2×= ………………7分

(Ⅲ)当运动时间为秒时,

                     …………8分

可设点坐标为),

          

解得,即      

∴        

∴ 直线方程为,即 ……………10分

若直线与圆相切,则到直线的距离

  …………11分

解得 

答:当时,直线与圆相切  …………12分

考点:利用点的对称求最值与圆的方程直线与圆的位置关系

点评:求与圆上的动点有关的距离最值问题通常先求出到圆心的距离

 

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