Question

已知点A（－2,0），B（2,0），动点P满足：

   （Ⅰ）求动点P的轨迹Q的方程；

   （Ⅱ）过点B的直线l与轨迹Q交于两点M，N。试问x轴上是否存在定点C，使 为常数，若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由。

Answer 1

解：（Ⅰ）依题意，由余弦定理得：,

即

　　

.

,即.　

（当动点与两定点共线时也符合上述结论）

动点的轨迹为以为焦点,实轴长为的双曲线．

所以，轨迹的方程为.   

(Ⅱ)假设存在定点,使为常数．

（1）当直线 不与轴垂直时，

设直线的方程为,代入整理得:

．          

由题意知，．

设,,则,．

于是，  

．             

要使是与无关的常数，当且仅当，此时．

（2）当直线 与轴垂直时，可得点,，

当时，．   

故在轴上存在定点,使为常数.