Question

若二次函数y=f（x）的图象经过原点，且1≤f（-1）≤2，3≤f（1）≤4，求f（-2）的范围．

Answer 1

分析：法一，先根据要求设出二次函数，可以利用基本不等式性质变形找出f（2）解决；
法二，用数形结合思想，利用线性规划的方法求解；
法三，利用方程思想反解a、b，利用f（-1）、f（1）来表示f（2）进而求解．

解答：解：因为y=f（x）的图象经过原点，所以可设y=f（x）=ax²+bx．于是

1≤f(-1)≤2 3≤f(1)≤4

∴

1≤a-b≤2 3≤a+b≤4

   （I）
解法一（利用基本不等式的性质）
不等式组（Ⅰ）变形得

2≤2a-2b≤4 4≤2a≤6

∴6≤4a-2b≤10，∴6≤f（-2）≤10，
所以f（-2）的取值范围是[6，10]．
解法二（数形结合）
建立直角坐标系aob，作出不等式组（Ⅰ）所表示的区域，如图中的阴影部分．
因为f（-2）=4a-2b，
所以4a-2b-f（-2）=0表示斜率为2的直线系．
如图，当直线4a-2b-f（-2）=0过点A（2，1），B（3，1）时，
分别取得f（-2）的最小值6，最大值10．
即f（-2）的取值范围是：6≤f（-2）≤10．
解法三（利用方程的思想）
∵

f(1)=a+b f(-1)=a-b

，∴

a= 1 2 [f(1)+f(-1)] b= 1 2 [f(1)-f(-1)]

又f（-2）=4a-2b=3f（-1）+f（1），而
1≤f（-1）≤2，3≤f（1）≤4，①
所以3≤3f（-1）≤6．②
①+②得4≤3f（-1）+f（1）≤10，即6≤f（-2）≤10．

点评：本题考查不等式的应用，数形结合思想，线性规划以及方程思想在本题中得到很好的体现，属于基础题．