Question

求下列函数的值域：
（1）y=x²-4x+6，x∈[1，5）；
（2）y=2x-

x-1

．

Answer 1

分析：（1）转化为求二次函数y=x²-4x+6在区间x∈[1，5）上的最值问题，配方得，当x=2时，y取得最小值2，x=5时，y有最大值11；
（2）由

x-1

≥0，不妨设

x-1

= t，t∈[0，+∞）原式可转化为t的二次函数y（t）=2t²-t+2，在t∈[0，+∞）的最值问题．

解答：解：（1）配方得：y=x²-4x+6=（x-2）²+2．
∵x∈[1，5），∴0≤（x-2）²＜9，所以2≤y＜11．
从而函数的值域为{y|2≤y＜11}．
（2）原函数的定义域是{x|x≥1，x∈R}．令

x-1

=t，
则t∈[0，+∞），x=t²+1．
∴y=2（t²+1）-t=2t²-t+2．
问题转化为求y（t）=2t²-t+2，t∈[0，+∞）值域的问题．
y=y(t)=2t2-t+2=2(t-

1

4

)2+

15

8

，
∵t≥0，∴0≤(t-

1

4

)2，y≥

15

8

．从而函数的值域为{y|y≥

15

8

}．

点评：本题（1）是求二次函数在某一区间上的最值问题，关键是对称轴在区间内，在区间外？（2）通过设未知数（换元）转化为求二次函数在某一区间上的最值问题，解法同（1）．