题目内容

(12分) 已知二次函数

为常数);.若直线12与函数的图象以及2,y轴与函数的图象

所围成的封闭图形如阴影所示. 

(1)求、b、c的值;

(2)求阴影面积S关于t的函数S(t)的解析式;

(3)若问是否存在实数m,使得的图象与的图象有且只有两个不同的交点?若存在,求出m的值;若不存在,说明理由.

 

 

 

【答案】

解:

(I)由图形可知二次函数的图象过点(0,0),(8,0),并且f(x)的最大值为16

 

∴函数f(x)的解析式为

(Ⅱ)由

 

∵0≤t≤2,∴直线l1与f(x)的图象的交点坐标为(

由定积分的几何意义知:

 

(Ⅲ)令

 

因为x>0,要使函数f(x)与函数g(x)有且仅有2个不同的交点,则函数

的图象与x轴的正半轴有且只有两个不同的交点

 

∴x=1或x=3时,

当x∈(0,1)时,是增函数;

当x∈(1,3)时,是减函数

当x∈(3,+∞)时,是增函数

又因为当x→0时,;当

所以要使有且仅有两个不同的正根,必须且只须

 

, ∴m=7或

 

∴当m=7或时,函数f(x)与g(x)的图象有且只有两个不同交点。

【解析】略

 

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