Question

给出下列命题：①若a，b∈R⁺，a≠b，则a³+b³＞a²b+ab²；②若a，b∈R⁺，a＜b，则

a+m

b+m

＜

a

b

；③若

a

c2

＞

b

c2

，则ln a＞ln b；
④当x∈(0，

π

2

)时，sinx+

2

sinx

的最小值为2

2

；其中正确命题的个数为（　　）

• A、0个
• B、1个
• C、2个
• D、3个

Answer 1

分析：对于三个命题分别判断，正确的给出证明，错误的能举出反例，是解答这类题目的重要方法，另外记住一些结论对捷达选择或者填空题很有帮助．本题要一一作出解答．

解答：解：①∵a，b∈R⁺，a≠b，∴a+b＞0，（a-b）²＞0，∴a³+b³-（a²b+ab²）=a²（a-b）+b²（b-a）=（a-b）（a²-b²）=（a-b）²（a+b）＞0，∴a³+b³＞a²b+ab²，此命题正确；
②∵a，b∈R⁺，a＜b，∴b-a＞0，∴

a+m

b+m

-

a

b

=

b(a+m)-a(b+m)

b(b+m)

=

m(b-a)

b(b+m)

＞0，∴

a+m

b+m

＞

a

b

，命题

a+m

b+m

＜

a

b

不正确；本题可以举出反例如：设a=2，b=3，m=1，可验证命题不正确；
③反例设a=-1，b=-2，

a

c2

＞

b

c2

成立，但是ln a，ln b均无意义；更谈不上ln a＞ln b了；
④设t=sinx∈（0，1），则sinx+

2

sinx

=t+

2

t

≥2

t× 2 t

=2

2

，当且仅当t=

2

t

即sinx=

2

sinx

，sinx=

2

显然不成立，此命题不正确．
综上可知只有①正确．
故应选：B

点评：本题考查了命题的概念和命题的真假判断，结合不等式知识，综合考查了综合法，分析法，反证法，比较作差法等不等式的证明方法；另外对均值不等式的应用题目设计很好地体现了学生容易出现的错误，很有针对性！