Question

已知向量u=(x,y)与向量v=(y,2y-x)的对应关系用v=f(u)表示.

(1)证明对于任意向量a、b及常数m、n,恒有f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立；

(2)设a=(1,1)，b=(1,0)，求向量f(a)及f(b)的坐标；

(3)求使f(c)=(p、q)(p、q为常数)的向量c的坐标.

Answer 1

解：(1)设a=(a₁,a₂),b=(b₁,b₂),则ma+nb=(ma₁+nb₁,ma₂+nb₂).

    ∴f(ma+nb)=(ma₂+nb₂,2ma₂+2nb₂-ma₁-nb₁),

    mf(a)+nf(b)=m(a₂,2a₂-a₁)+n(b₂,2b₂-b₁)=(ma₂+nb₂,2ma₂+2nb₂-ma₁-nb₁).

    ∴f(ma+nb)=mf(a)+nf(b)成立.

    (2)f(a)=(1,2×1-1)=(1,1),

    f(b)=(0,2×0-1)=(0,-1).

    (3)设c=(x,y),则f(c)=(y,2y-x)=(p,q).∴y=p,2y-x=q.

    ∴x=2p-q，即向量c=(2p-q,p).

讲评：要利用题设条件，必须将向量用坐标表示，通过坐标进行计算，从而解决问题，这也是向量运算中比较常用的方法.