Question

（08年华师一附中二次压轴文）数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n＝2a_n－3n（n∈N^*）。

（1）若数列{a_n＋c}成等比数列，求常数c的值。

（2）求数列{a_n}的通项公式a_n。

（3）数列{a_n}中是否存在三项，它们可以构成等差数列？若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解析:（1）由S_n＝2a_n－3n及S_n＋1＝2a_n＋1－3(n＋1)得a_n＋1＝2a_n＋3，

∴2，∴c＝3

（2）∵a₁＝S₁＝2a₁－3，∴a₁＝3。由（1）知a_n＋3＝(a₁＋3)?2^n－1。

∴a_n＝3?2ⁿ－3（n∈N^*）

（3）设存在s，p，r∈N^*，且s<p<r使a_s，a_p，a_r成等差数列，∴2a_p＝a_s＋a_r，

即2(3?2^p－3)＝(3?2^s－3)＋(3?2^r－3)

∴2^p＋1＝2^s＋2^r，∴2^p－s＋1＝1＋2^r－s。

∴2^p＋1＝2^s＋2^r，∴ 2^p－s＋1＝1＋2^r－s。

∵s，p，r∈N^*，且s<p<r，∴2^p-s+1、2^r－s为偶数，1＋2^r－s为奇数，

于是产生矛盾。因此，不存在满足条件的三项。