Question

9．（1）求函数f（x）=3•4^x-2^x在[0，+∞）上的值域．
（2）求函数f（x）=sinx+cos²x在R上的值域．

Answer 1

分析 （1）令t=2^x，由x的范围求出t的范围，然后利用关于t的二次函数在[1，+∞）上的单调性求得函数值域；
（2）化余弦为正弦，再利用换元法结合二次函数求得答案．

解答 解：（1）令t=2^x，
∵x∈[0，+∞），∴t∈[1，+∞），
则原函数化为g（t）=3t²-t，在[1，+∞）上为增函数，
∴g（t）≥g（1）=2．
∴原函数的值域为[2，+∞）；
（2）f（x）=sinx+cos²x=-sin²x+sinx+1．
令m=sinx，则m∈[-1，1]．
∴原函数化为h（m）=-m²+m+1，m∈[-1，1]．
当m=-1时，h（m）_min=h（-1）=-1；
当m=$\frac{1}{2}$时，$h（m）_{max}=h（\frac{1}{2}）=\frac{5}{4}$．
∴函数f（x）=sinx+cos²x在R上的值域为[-1，$\frac{5}{4}$]．

点评 本题考查函数的值域及其求法，训练了换元法和配方法求函数的值域，是基础题．