Question

已知a＞0，a≠1，命题p：“函数f（x）=a^x+1在（0，+∞）上单调递减”，命题q：“关于x的不等式x2-ax+

1

8

＜0有实数解”，若p∧q为假命题，p∨q为真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：运用指数函数的增减性求出命题p中a的范围，再运用一元二次不等式有解的条件求出命题q中a的范围，最终结合复合命题的真假判断方法来解决．

解答：解：命题p：“函数f（x）=a^x+1在（0，+∞）上单调递减”，
应有：0＜a＜1，
命题q：“关于x的不等式x2-ax+

1

8

＜0有实数解”，
应有：△=a2-

1

2

＞0，得a＜-

2

2

或a＞

2

2

，
又∵a＞0，a≠1，
∴a＞

2

2

且a≠1，
又∵p∧q为假命题，p∨q为真命题，
∴p，q命题一真一假，
（1）当p真q假时，应有：

0＜a＜1 0＜a≤ 2 2 或a=1

⇒0＜a≤

2

2

，
（2）当p假q真时，应有：

a＞1 a＞ 2 2 且a≠1

⇒a＞1，
综上（1）（2）可得，a的取值范围是(0，

2

2

]∪(1，+∞)，
故答案为：a的取值范围是(0，

2

2

]∪(1，+∞)．

点评：本题以复合命题的真假判断为载体，主要考查了指数函数的单调性和一元二次不等式有解的条件，应当熟练掌握．