题目内容

(本小题满分12分)

已知点,过点作抛物线的切线,切点在第二象限,如图.

(Ⅰ)求切点的纵坐标;

(Ⅱ)若离心率为的椭圆  恰好经过切点,设切线交椭圆的另一点为,记切线的斜率分别为,若,求椭圆方程.

21(本小题满分12分)

已知函数 .

(1)讨论函数的单调性;

(2)当时,恒成立,求实数的取值范围;

(3)证明:.

22.选修4-1:几何证明选讲

如图,是圆的直径,是弦,的平分线交圆于点,交的延长线于点于点

(1)求证:是圆的切线;

(2)若,求的值。

23.选修4—4:坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中,直线过点且倾斜角为,以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,直线与曲线相交于两点;

(1)若,求直线的倾斜角的取值范围;

(2)求弦最短时直线的参数方程。

24. 选修4-5 不等式选讲

已知函数

   (I)试求的值域;

   (II)设,若对,恒有成立,试求实数a的取值范围。

解:(Ⅰ)设切点,且

由切线的斜率为,得的方程为,又点上,

,即点的纵坐标

(Ⅱ)由(Ⅰ) 得,切线斜率

,切线方程为,由,得,所以椭圆方程为,且过

代入得:,所以

椭圆方程为

21、解:(1)的定义域为(0,+∞),

时,>0,故在(0,+∞)单调递增;

时,<0,故在(0,+∞)单调递减;

当-1<<0时,令=0,解得.

则当时,>0;时,<0.

单调递增,在单调递减

(2)因为,所以

时,恒成立

,则,            

因为,由

且当时,;当时,.

所以上递增,在上递减.所以,故 

(3)由(2)知当时,有,当时,

,则,即   

所以,…,

相加得

所以

22.选修4-1:几何证明选讲

22.(1)连接,可得

,又,∴

为半径,∴是圆的切线

(2)过于点,连接

则有

,则,∴

可得

又由,可得

23.选修4—4:坐标系与参数方程

(1)∵曲线的极坐标方程为  

 ∴曲线的直角方程为

设圆心到直线的距离为    ∵    ∴

当直线斜率不存在时,,不成立

当直线斜率存在时,设    ∴  

 ∴————5分  ∴直线倾斜角的取值范围是

(2)要使弦最短,只需,∴直线的倾斜角为

∴直线的参数方程为为参数)

24. 选修4-5 不等式选讲

解:(I)

(II)若,当且仅当时取得等号。再由(I)知的最大值为3.

     若对,恒有成立,即

,解之得

故实数a的取值范围是

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