题目内容
4．已知二次函数f（x）=ax2+x-c（其中a，c∈R），a，c的等差中项是2，a是边长为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$的正三角形的外接圆半径．（1）求f（x）的解析式；（2）若数列{an}满足${a_1}=1，3{a_{n+1}}=1-\frac{1}{{f（{a_n}+1）-f（{a_n}）-\frac{3}{2}}}（n∈{N^*}）$，求数列{an}的通项公式；
（3）设${b_n}=\frac{1}{a_n}$，在（2）的条件下，若数列{bn}的前n项和为Sn，求数列{Sn•cos（bnπ）}的前n项和Tn．
分析 （1）由正三角形的性质可得a=$\frac{3}{2}$，再由等差数列的性质可得a+c=4，即可得到c，进而得到二次函数的解析式；
（2）求出f（an+1），f（an），代入已知的等式中化简得到数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}为等差数列，求出数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的通项公式后可求数列{an}的通项公式；
（3）由bn=$\frac{1}{{a}_{n}}$，求出cos（bnπ），然后分n为偶数和奇数，讨论求解数列{Sn•cos（bnπ）}的前n项和Tn．
解答 解：（1）a是边长为$\frac{3\sqrt{3}}{2}$的正三角形的外接圆半径，
可得a=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$•$\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{3}{2}$，
由a，c的等差中项是2，可得a+c=4，解得c=$\frac{5}{2}$，
则f（x）=$\frac{3}{2}$x2+x-$\frac{5}{2}$；
（2）∵f（an+1）-f（an）=$\frac{3}{2}$（an+1）2+（an+1）-$\frac{3}{2}$an2-an=3an+$\frac{5}{2}$．
由${a_1}=1，3{a_{n+1}}=1-\frac{1}{{f（{a_n}+1）-f（{a_n}）-\frac{3}{2}}}（n∈{N^*}）$
=1-$\frac{1}{3{a}_{n}+1}$=$\frac{3{a}_{n}}{3{a}_{n}+1}$．
即$\frac{1}{{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$+3，
故数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}为首项为1，公差为3的等差数列．
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1+3（n-1）=3n-2，
即有an=$\frac{1}{3n-2}$；
（3）∵bn=3n-2，
∴cos（bnπ）=cos（3n-2）π=$\left\{\begin{array}{l}{-1，n=2k-1}\\{1，n=2k}\end{array}\right.$k为正整数，
即Sn•cos（bnπ）=（-1）nSn，
∴Tn=-S1+S2-S3+S4-…+（-1）nSn．
①当n为偶数时，Tn=（-S1+S2）+（-S3+S4）+…+（-Sn-1+Sn）
=b2+b4+…+bn=$\frac{3{n}^{2}+2n}{4}$；
②当n为奇数时，
Tn=Tn-1-Sn=$\frac{3（n-1）^{2}+2（n-1）}{4}$-$\frac{n（3n-1）}{2}$=$\frac{-3{n}^{2}-2n+1}{4}$．
综上，Tn=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{-3{n}^{2}-2n+1}{4}，n为奇数}\\{\frac{3{n}^{2}+2n}{4}，n为偶数}\end{array}\right.$．
点评 本题考查了二次函数的解析式的求法，考查了等差数列的性质和数列的函数特性，考查了数列的递推式及数列的和，考查了分类讨论的数学思想方法，考查了学生综合处理和解决问题的能力，是有一定难度题目．
| A． | 0 | B． | 1 | C． | -1 | D． | 2 |
| A． | -$\frac{n+2}{n}$ | B． | $\frac{2n+1}{2n-1}$ | C． | $-\frac{2n+1}{2n-1}$ | D． | -$\frac{n+1}{n-1}$ |
在如图中，图（b）是图（a）中实物画出的正视图和俯视图，你认为正确的吗？如果不正确，请找出错误并改正，然后画出侧视图（尺寸不作严格要求）