Question

已知函数f（x）=ax+b，x∈（-1，1），a、b∈R是常数．
（1）若a是从-2、-1、0、1、2五个数中任取的一个数，b是从0、1、2三个数中任取的一个数，求函数y=f（x）为奇函数的概率．
（2）若a是从区间[-2，2]中任取的一个数，b是从区间[0，2]中任取的一个数，求函数y=f（x）有零点的概率．

Answer 1

分析：（1）由题意知本题是一个古典概型，可以列举法来解题，函数f（x）=ax+b，x∈[-1，1]为奇函数得到b=0，列举出基本事件，满足条件的事件是函数f（x）=ax+b，x∈[-1，1]有零点，列举出所有事件，根据古典概型公式得到结果．
（2）由题意知本题是一个几何概型，试验的全部结果所构成的区域为{（a，b）|-2≤a≤2，0≤b≤2}，构成事件A的区域为{（a，b）|a=b=0}∪{（a，b）|-2≤a≤2，0≤b≤2，a≠0且（a+b）（b-a）＜0}，做出面积，求出比值．

解答：解：（1）由题意知本题是一个古典概型，可以列举法来解题，
函数f（x）=ax+b，x∈[-1，1]为奇函数，
当且仅当?x∈[-1，1]，f（-x）=-f（x），即b=0，
基本事件共15个：（-2，0）、（-2，1）、（-2，2）、（-1，0）、（-1，1）、（-1，2）、（0，0）、（0，1）、（0，2）、（1，0）、（1，1）、（1，2）、（2，0）、（2，1）、（2，2），
其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值，
事件A即“函数f（x）=ax+b，x∈[-1，1]有零点”
包含的基本事件有5个：（-2，0）、（-1，0）、（0，0）、（1，0）、（2，0）
∴事件A发生的概率为P(A)=

5

15

=

1

3

．
（2）由题意知本题是一个几何概型，
∵试验的全部结果所构成的区域为{（a，b）|-2≤a≤2，0≤b≤2}，区域面积为4×2=8，
构成事件A的区域为{（a，b）|a=b=0}∪{（a，b）|-2≤a≤2，0≤b≤2，a≠0且（a+b）（b-a）＜0}，
即{(a，b)|a=b=0}∪{(a，b)|-2≤a≤2，0≤b≤2，a≠0且-1＜

b

a

＜1}，
区域面积为

1

2

×4×2=4，
∴事件A发生的概率为P(A)=

4

8

=

1

2

．

点评：本题主要考查古典概型和几何概型，解决古典概型问题时最有效的工具是列举，大纲中要求能通过列举解决古典概型问题，也有一些题目需要借助于排列组合来计数．