Question

已知抛物线的焦点为F，过点F作直线与抛物线交于A，B两点，抛物线的准线与轴交于点C。

   （1）证明：；

   （2）求的最大值，并求取得最大值时线段AB的长。

Answer 1

解：

（Ⅰ）由题设知，F(，0)，C(－，0)，

设A(x­₁，y₁)，B(x₂，y₂)，直线l方程为x＝my＋，

代入抛物线方程y²＝2px，得y²－2pmy－p²＝0．

y₁＋y₂＝2pm，y₁y₂＝－p²．                                                                     …4分

不妨设y₁＞0，y₂＜0，则

tan∠ACF＝＝＝＝＝，

tan∠BCF＝－＝－，

∴tan∠ACF＝tan∠BCF，所以∠ACF＝∠BCF．                                          …8分

（Ⅱ）如（Ⅰ）所设y₁＞0，tan∠ACF＝≤＝1，当且仅当y₁＝p时取等号，

此时∠ACF取最大值，∠ACB＝2∠ACF取最大值，

并且A(，p)，B(，－p)，|AB|＝2p．                                                 …12分