Question

17．已知四边形ABCD为平行四边形，BC⊥平面ABE，AE⊥BE，BE=BC=1，AE=$\sqrt{3}$，M为线段AB的中点，N为线段DE的中点，P为线段AE的中点．
（1）求证：MN⊥EA；
（2）求二面角M-NE-A的余弦值．

Answer 1

分析 （1）过B作BQ⊥平面ABCD，以B为原点，以BA、BC、BQ分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，证明$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{AE}$=0即可；
（2）所求值即为平面MNE的法向量与平面ANE的法向量的夹角的余弦值的绝对值，计算即可．

解答 （1）证明：∵BC⊥平面ABE，BC?平面ABCD，
∴平面ABE⊥平面ABCD，BC⊥AB，
过B作BQ⊥平面ABCD，则BQ?平面ABE，
以B为原点，以BA、BC、BQ分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图，
∵AE⊥BE，BE=1，AE=$\sqrt{3}$，
∴AB=$\sqrt{A{E}^{2}+B{E}^{2}}$=2，
∴A（2，0，0），B（0，0，0），
∴M（1，0，0），D（2，1，0），E（$\frac{1}{2}$，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），N（$\frac{5}{4}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$），
∴$\overrightarrow{MN}$=（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$），$\overrightarrow{AE}$=（-$\frac{3}{2}$，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
∵$\overrightarrow{MN}$•$\overrightarrow{AE}$=$-\frac{3}{8}+0+\frac{3}{8}$=0，
∴MN⊥EA；
（2）解：由（1）得：$\overrightarrow{MN}$=（$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$），$\overrightarrow{NE}$=（-$\frac{3}{4}$，-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$），
$\overrightarrow{AN}$=（-$\frac{3}{4}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{4}$），$\overrightarrow{AE}$=（-$\frac{3}{2}$，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
设平面MNE的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{MN}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{NE}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{4}x+\frac{1}{2}y+\frac{\sqrt{3}}{4}z=0}\\{-\frac{3}{4}x-\frac{1}{2}y+\frac{\sqrt{3}}{4}z=0}\end{array}\right.$，
取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
设平面ANE的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
由$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AN}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AE}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}y+\frac{\sqrt{3}}{4}z=0}\\{-\frac{3}{2}x+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\end{array}\right.$，
取x=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，0，$\sqrt{3}$），
∴$cos＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{1+0+1}{\sqrt{1+1+\frac{1}{3}}•\sqrt{1+3}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$，
∴所求二面角M-NE-A的余弦值为$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题考查线面垂直的位置关系，二面角，数量积运算，解决的关键是利用向量的数量积公式以及线面垂直的性质定理得到证明，注意解题方法的积累，属于中档题．