题目内容

(本小题满分12分)已知圆为圆心且经过原点O.
(1) 若直线与圆交于点,若,求圆的方程;
(2) 在(1)的条件下,已知点的坐标为,设分别是直线和圆上的动点,求的最小值及此时点的坐标。

(1)圆方程为 .(2)

解析试题分析:(I)利用圆的标准方程写出圆的方程,根据线段的中垂线的性质判断出C,H,O三点共线,利用两点连线的斜率公式求出直线OC的斜率,列出关于t的方程,求出t的值.通过圆心到直线的距离与圆半径的大小的比较,判断出直线与圆的关系是否相交.
(II)求出点B关于直线x+y+2=0的对称点,将已知问题转化为对称点到圆上的最小值问题,根据圆的几何条件,圆外的点到圆上的点的最小值等于该点到圆心的距离减去半径.
考点:本题主要是考查直线与圆的位置关系的运用。
解:由题知,圆方程为
化简得                          …1分
(1),则原点的中垂线上,设的中点为,则三点共线,则直线的斜率,则圆心,         …4分
所以圆方程为,          …5分
由于当圆方程为时,直线到圆心的距离,不满足直线和圆相交,故舍去.
方程为 .                             …6分
(2)点关于直线的对称点为,           …7分
,又到圆上点的最短距离为
所以的最小值为,                                …10分
直线的方程为,则直线与直线
交点的坐标为.               …12分
点评:解决该试题的关键是求圆的方程一般利用的方法是待定系数法;解决直线与圆的有关的问题常利用圆的一些几何意义:常需要解圆心距、弦长的一半、圆的半径构成的直角三角形;圆外的点到圆上的最值常求出点到圆心的距离加上或减去圆的半径

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