题目内容
【题目】对于任意
，若数列
满足
，则称这个数列为“K数列”.
（1）已知数列：1，
，
是“K数列”，求实数m的取值范围；
（2）是否存在首项为-1的无穷等差数列
为“K数列”，且其前n项和
满足：
，若存在，求出的通项公式；若不存在，请说明理由；
（3）已知各项均为正整数的等比数列（至少有4项）为“K数列”，数列
不是“K数列”，若
，是否存在，使
为“K数列”？若存在，请求出，若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）这样的等差数列
不存在，详见解析（3）答案不唯一，具体见解析
【解析】
(1)直接根据“K数列”的定义列出关于
的不等式求解即可.
(2) 假设存在等差数列符合要求,设公差为d,再求得
,再利用
分析公差
满足的条件是否能够成立即可.
(3) 设数列的公比为q,
,再根据等比数列
为“K数列”,数列
不是“K数列”求出前两项的关系,再根据前两项的关系分情况讨论是否能够满足
为“K数列”即可.
(1)由题意得
,①
,②
解①得
；解②得
或.
所以,故实数m的取值范围是.
(2)假设存在等差数列符合要求,设公差为d,则
,
由
,得
,
由题意,得
对
均成立,
即
.
①当
时,
；
②当
时,
,
因为
,
所以
,与矛盾,
故这样的等差数列不存在.
(3)设数列的公比为q,则,
因为的每一项均为正整数,且
,
所以
,且
.
因为
,
所以在
中,“
”为最小项,
同理,在
中,
为最小项.
由为“K数列”,只需
,即
,
又因为不是“K数列”,且“”为最小项,所以
,即
,
由数列的每一项均为正整数,可得
,
所以
,
或
,
,
①当,时,
,则
,
令
,则
,
又
,
所以
为递增数列,即
,
所以
,
因为
,
所以对任意的
,都有
,
即数列为“K数列”.
②当,时,
,则
.因为
,
所以数列不是“K数列”.
综上：当时,数列为“K数列”,
当时,数列不是“K数列”.
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