题目内容
数列{
}的前n项和为
，
．
（Ⅰ）设
，证明：数列
是等比数列；
（Ⅱ）求数列
的前
项和
；
（Ⅲ）若
，数列
的前
项和
，证明：
．
【答案】
（Ⅰ）
（Ⅱ）
（Ⅲ）详见解析
【解析】
试题分析：（Ⅰ） 由
，令
可求
，
时，利用
可得
与
之间的递推关系，构造等可证等比数列；（Ⅱ） 由（Ⅰ）可求
，利用错位相减法可求数列的和；（Ⅲ）由（Ⅱ）进而可求
，利用
（）进行不等式放缩，求数列{
}的和即可求证.
试题解析：（Ⅰ）因为
，
所以 ① 当
时，
，则
， （1分）
② 当
时，
， （2分）
所以
，即
，
所以
，而
， （3分）
所以数列
是首项为
，公比为
的等比数列，所以． （4分）
（Ⅱ）由(1)得
．
所以 ①
，
②
， （5分）
②-①得：
， （7分）
. （9分）
（Ⅲ）由(Ⅰ)知
（10分）
（1）当
时，
成立； （11分）
（2）当
时，
，
， （13分）
所以
. （14分）
（本题放缩方法不唯一,请酌情给分）
考点： 1.递推关系；2.等比数列的概念；3.数列求和和不等式放缩.
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