题目内容
7．已知曲线y=$\sqrt{4-{x}^{2}}$与x轴的交点为A，B分别由A、B两点向直线y=x作垂线，垂足为C、D，沿直线y=x将平面ACD折起，使平面ACD⊥平面BCD，则四面体ABCD的外接球的表面积为（ ）| A． | 16π | B． | 12π | C． | 8π | D． | 6π |
分析 折叠后的四面体的外接球的半径，就是四面体扩展为长方体，对角线AB的一半就是外接球的半径，求出球的半径即可求出球的表面积．
解答 解：由题意曲线y=$\sqrt{4-{x}^{2}}$与x轴的交点为A，B可知，OA=OB=2，
由A，B两点向直线y=x作垂线，垂足为C，D，∴AC=BD=$\sqrt{2}$，
沿直线y=x将平面ACD折起，使平面ACD⊥平面BCD，可得三棱锥，三棱锥扩展为长方体，
长方体的对角线AB的一半就是外接球的半径，
∴AB2=AC2+BC2=AC2+CD2+BD2=2+8+2=12，∴R=$\sqrt{3}$，
所求四面体A-BCD的外接球的表面积为4π×（$\sqrt{3}$）2=12π．
故选：B．
点评 本题考查球的内接多面体，求出球的半径，是解题的关键，考查空间想象能力，计算能力．
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