Question

8．已知$1≤lg\frac{x}{y}≤2，2≤lg\frac{x^3}{{\sqrt{y}}}≤3$，求$lg\frac{x^3}{{\root{3}{y}}}$的取值范围．

Answer 1

分析 由已知可得$\left\{\begin{array}{l}{1≤lgx-lgy≤2}\\{2≤3lgx-\frac{1}{2}lgy≤3}\end{array}\right.$，令$\left\{{\begin{array}{l}{a=lgx-lgy}\\{b=3lgx-\frac{1}{2}lgy}\end{array}}\right.$，解得，$\left\{{\begin{array}{l}{lgx=\frac{2b-a}{5}}\\{lgy=\frac{2b-6a}{5}}\end{array}}\right.$，可得：$lg\frac{x^3}{{\root{3}{y}}}$=$\frac{16}{15}b-\frac{a}{5}$，即可得出．

解答 解：由已知可得$\left\{\begin{array}{l}{1≤lgx-lgy≤2}\\{2≤3lgx-\frac{1}{2}lgy≤3}\end{array}\right.$，（*）
令$\left\{{\begin{array}{l}{a=lgx-lgy}\\{b=3lgx-\frac{1}{2}lgy}\end{array}}\right.$，
解得，$\left\{{\begin{array}{l}{lgx=\frac{2b-a}{5}}\\{lgy=\frac{2b-6a}{5}}\end{array}}\right.$
因此可得：$lg\frac{x^3}{{\root{3}{y}}}=3lgx-\frac{1}{3}lgy=3×\frac{2b-a}{5}-\frac{1}{3}×\frac{2b-6a}{5}=\frac{16}{15}b-\frac{a}{5}$
由（*）可知：1≤a≤2，2≤b≤3，
由此可得$\frac{26}{15}≤\frac{16}{15}b-\frac{1}{5}a≤3$，
即$lg\frac{x^3}{{\root{3}{y}}}$的取值范围是$[{\frac{26}{15}，3}]$．

点评 本题考查了对数的运算性质、“换元法”、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．