题目内容

已知g（x）=1-x，f[g（x）]=2-x2，
（1）求f（x）的解析式；
（2）h（x）=
f(x)-1
x2
-a，若h（x）在x∈[-3，-1]上的最大值是-
5
3
，求a的值．
分析：（1）利用换元法求函数f（x）的解析式，
（2）求出函数h（x）的表达式，利用分式函数的单调性建立方程，即可求出a的值．
解答：解：（1）设t=g（x）=1-x，则x=1-t，
∴f[g（x）]=2-x2，等价为f（t）=2-（1-t）2=-t2+2t+1，
∴f（x）=-x2+2x+1．
（2）∵h（x）=
f(x)-1
x2
-a，
∴h（x）=
f(x)-1
x2
-a=
-x2+2x+1-1
x2
-a=
-x2+2x
x2
-a=
2
x
-a-1，
∵h（x）=
2
x
-1-a在x∈[-3，-1]单调递减，
∴当x=-3时，函数h（x）取得最大值h（-3）=-
2
3
-a-1=-
5
3
-a=-
5
3
，
即a=0．
点评：本题主要考查利用换元法求函数的解析式，以及分式函数的单调性的应用，比较基础．
练习册系列答案
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21、例4．已知f（x）=ax2+bx+c，g（x）=ax+b（a、b、c∈R），当x∈[-1，1]时，|f（x）|≤1
（1）证明：|c|≤1．
（2）x∈[-1，1]时，证明|g（x）|≤2．
（3）设a＞0，当-1≤x≤1时，g（x）max=2，求f（x）．
（1）求证：函数f（x）=x+
a
x
是奇函数；
（2）已知函数g（x）=x+
1
x
在区间（0，1）上是单调减函数，在区间（1，+∞）上是单调增函数；函数g（x）=x+
4
x
在区间（0，2）上是单调减函数，在区间（2，+∞）上是单调增函数；猜想出函数g（x）=x+
b2
x
，（b＞0），x∈（0，+∞）的单调区间；
（3）指出函数h（x）=x+
8
x
，x∈（-∞，0）在什么时候取最大值，最大值是多少．
已知g（x）=1-x，f[g（x）]=2-x2，
（1）求f（x）的解析式；
（2）h（x）=f（x）-1-a，若h（x）＜0在x∈（-1，2）上恒成立，求a的取值范围．
例4．已知f（x）=ax2+bx+c，g（x）=ax+b（a、b、c∈R），当x∈[-1，1]时，|f（x）|≤1
（1）证明：|c|≤1．
（2）x∈[-1，1]时，证明|g（x）|≤2．
（3）设a＞0，当-1≤x≤1时，g（x）max=2，求f（x）．

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