Question

[x]表示不超过x的最大整数，正项数列{a_n}满足a₁=1，．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）求证：；
（3）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，求证：当n＞2时，有．

Answer 1

（1）解：∵
∴
∵
∴是以1为首项1为公差的等差数列
∴
∴；
（2）证明：
，，…，
设n-1=1+2+…+2^m+k，其中k，m∈N且0≤k＜2^m+1
则
又2^m+1≤n=2^m+1+k＜2^m+2
从而m+1≤log₂n＜m+2
∴[log₂n]=m+1
所以
∴；
（3）证明：∵
∴
∴
∴当n＞2时，

…

累加得：-
由（2）结论有
∴

=
分析：（1）根据，取其倒数，即可求得数列{a_n}的通项公式a_n；
（2），设n-1=1+2+…+2^m+k，其中k，m∈N且0≤k＜2^m+1，则，又2^m+1≤n=2^m+1+k＜2^m+2，从而m+1≤log₂n＜m+2，故可得证．
（3）两边平方，并整理可得：当n＞2时，．又，…，，累加得：-，利用（2）结论可得，所以，从而问题可证．
点评：本题以数列的递推式为载体，考查数列的通项，考查不等式的证明，考查累加法求和，同时考查新定义的理解，属于中档题