Question

已知两个非零向量

a

=（a₁，b₁），

b

=（a₂，b₂），若条件p：“

a

∥

b

”，条件q：“关于x的不等式a₁x+b₁＞0与a₂x+b₂＞0的解集相同”．则条件p是q的（　　）

A．充分必要条件

B．非充分非必要条件

C．充分非必要条件

D．必要非充分条件

Answer 1

分析：先分别化简p、q，对q的a₁、a₂、b₁、b₂分类讨论即可得出结论．

解答：解：：∵两个非零向量

a

∥

b

，∴a₁与b₁不全为0，a₂与b₂不全为0．
条件p：∵

a

∥

b

，∴a₁b₂-a₂b₁=0，即a₁b₂=a₂b₁，且a₁与b₁不全为0，a₂与b₂不全为0．
条件q：关于x的不等式a₁x+b₁＞0与a₂x+b₂＞0的解集相同．
①若a₁=a₂=0，b₁＞0，b₂＞0，则关于x的不等式a₁x+b₁＞0与a₂x+b₂＞0的解集都为R相同，可得a₁b₂=a₂b₁；
②若a₁=a₂=0，b₁＜0，b₂＜0，则关于x的不等式a₁x+b₁＞0与a₂x+b₂＞0的解集都为∅相同，可得a₁b₂=a₂b₁；
③若a₁=a₂=0，b₁b₂＜0，则关于x的不等式a₁x+b₁＞0与a₂x+b₂＞0的解集不相同，应舍去；
④若a₁＞0，a₂＞0，∵关于x的不等式a₁x+b₁＞0与a₂x+b₂＞0的解集相同，∴-

b1

a1

=-

b2

a2

，可得a₁b₂=a₂b₁；
⑤若a₁＜0，a₂＜0，∵关于x的不等式a₁x+b₁＞0与a₂x+b₂＞0的解集相同，∴-

b1

a1

=-

b2

a2

，可得a₁b₂=a₂b₁；
⑥若a₁、a₂两个中只有一个等于0，则不满足关于x的不等式a₁x+b₁＞0与a₂x+b₂＞0的解集相同的条件．
综上可知：由q⇒p，当时反之不成立．因此，条件p是q的必要不充分条件．
故选D．

点评：正确分类讨论是解题的关键．