Question

12．设{a_n}是正数组成的数列，其前n项和为S_n，并且对于所有的正整数n，a_n与2的等差中项等于S_n与2的等比中项．
（1）写出数列的前三项；
（2）猜出通项公式，用数列归纳加以证明．

Answer 1

分析 （1）由题意$\frac{（{a}_{n}+2）^{2}}{8}$，令n=1，因为s₁=a₁，可求出a₁的值，再反复代入，分别求出a₂，a₃，
（2）根据概率猜想通项公式a_n，利用归纳法进行证明，假设n=k成立，然后利用已知条件验证n=k+1是否成立，从而求证．

解答 解：（1）由（$\frac{{a}_{n}+2}{2}$）²=2S_n，得S_n=$\frac{（{a}_{n}+2）^{2}}{8}$，可求得a₁=2，a₂=6，a₃=10，
（2）由此猜想{a_n}的通项公式a_n=4n-2（n∈N₊）．
证明：①当n=1时，a₁=2，等式成立；
②假设当n=k时，等式成立，即a_k=4k-2，
∴a_k+1=S_k+1-S_k=$\frac{（{a}_{k+1}+2）^{2}}{8}$，
∴（a_k+1+a_k）（a_k+1-a_k-4）=0，又a_k+1+a_k≠0
∴a_k+1-a_k-4=0，
∴a_k+1=a_k+4=4k-2+4=4（k+1）-2
∴当n=k+1时，等式也成立．
由①②可得a_n=4n-2（n∈N₊）成立．

点评 本题主要考查了递推关系，以及数学归纳法的应用，同时考查了运算求解的能力，属于中档题．