题目内容
1.已知正项数列{an}中,其前n项和为Sn,且an=2$\sqrt{{S}_{n}}$-1.(1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}}\right\}$的前n项和Tn.
分析 (1)由数列的递推公式,an=Sn-Sn-1,即可求出通项公式;
(2)$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$=$\frac{1}{2}$($\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$),根据裂项求和,得到结论.
解答 解:(1)由an=2$\sqrt{{S}_{n}}$-1得,
当n=1时,a1=s1,且a1=2$\sqrt{{S}_{1}}$-1,故a1=1,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1,故Sn-Sn-1=2$\sqrt{{S}_{n}}$-1,得($\sqrt{{S}_{n}}$-1)2=Sn-1,
∵正项数列{an},
∴$\sqrt{{S}_{n}}$=$\sqrt{{S}_{n-1}}$+1,
∴{$\sqrt{{S}_{n}}$}是首项为1,公差为1的等差数列.
∴$\sqrt{{S}_{n}}$=n,Sn=n2,
∴an=2$\sqrt{{S}_{n}}$-1=2n-1.
(2)$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$=$\frac{1}{2}$($\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$),
∴Tn=$\frac{1}{{a}_{1}{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{2}{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{1×3}$+$\frac{1}{3×5}$+…+$\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$=$\frac{1}{2}$(1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$)=$\frac{1}{2}$(1-$\frac{1}{2n+1}$)=$\frac{n}{2n+1}$.
点评 本题主要考查了用数列递推式求和通项公式的问题,以及裂项求和,属于中档题.
A. | 是奇函数且图象关于点($\frac{π}{2}$,0)对称 | B. | 是偶函数且图象关于点(π,0)对称 | ||
C. | 是奇函数且图象关于直线x=$\frac{π}{2}$对称 | D. | 是偶函数且图象关于直线x=π对称 |
A. | $\frac{{\sqrt{3}}}{24}π$ | B. | $\frac{{\sqrt{3}}}{8}π$ | C. | $\frac{1}{16}π$ | D. | $\frac{1}{8}π$ |
A. | {4} | B. | {3,4} | C. | {2,3,4} | D. | {1,2,3,4} |
A. | (-1,$\frac{2}{3}$] | B. | (-1,$\frac{2}{3}$) | C. | (-∞,-1)∪(-1,$\frac{2}{3}$] | D. | [$\frac{2}{3}$,+∞) |