Question

已知函数f（x）=ax³+4x与g（x）=bx²+cx+8的图象都过点P（2，0），且在点P处有相同的切线．
（Ⅰ）求f（x），g（x）的解析式；
（Ⅱ）设函数F（x）=f（x）+g（x），当x∈R时，求F（x）的极大值和极小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用f（x）的图象过P（2，0），可求f（x）的解析式；利用f（x），g（x）在点P处有相同的切线，可求g（x）的解析式；
（Ⅱ）求导函数，确定函数的单调性，即可求得函数的极值．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）的图象过P（2，0），∴f（2）=0
∴a×2³+8=0，∴a=-1，∴f（x）=-x³+4x
∴f′（x）=-3x²+4，g′（x）=2bx+c
∴f′（2）=-8，g′（2）=4b+c
∵在点P处有相同的切线
∴4b+c=-8
∵g（2）=4b+2c+8=0
∴b=-2，c=0
∴g（x）=-2x²+8
（Ⅱ）函数F（x）=f（x）+g（x）=-x³-2x²+4x+8
∴F′（x）=-3x²-4x+4=-（3x-2）（x+2）
令F′（x）＞0可得-2＜x＜

2

3

；令F′（x）＜0可得x＜-2或x＞

2

3

∴函数在（-∞，-2），（

2

3

，+∞）上为减函数，在（-2，

2

3

）上为增函数
∴函数在x=-2处，取得极小值为F（-2）=0；在x=

2

3

处，取得极大值为F（

2

3

）=9

13

27

点评：本题考查导函数的求法以及导数几何意义，考查函数的极值，正确求导是关键．