Question

过正方形ABCD的顶点A作PA⊥平面ABCD，设PA=AB=a，求平面PAB和平面PCD所成二面角的大小．

Answer 1

解：如图，考虑与平面PAB和平面PCD同时相交的第三平面ABCD，
其交线为AB和CD，而AB∥CD，
则平面PAB和平面PCD所成二面角的棱必与AB，CD平行．
在平面PAB内，过点P作PQ∥AB，
则PQ为平面PAB和平面PCD所成二面角的棱，
然后可证得，PA⊥PQ，PD⊥PQ，
∠APD为所求角，在Rt△APD中可求得，∠APD=45°．
分析：根据二面角的平面角的定义可知在平面PAB内，过点P作PQ∥AB，则PQ为平面PAB和平面PCD所成二面角的棱，然后可证得，PA⊥PQ，PD⊥PQ，则∠APD为所求角，在Rt△APD中可求得此角即可．
点评：本题中两平面与第三平面分别有一条相交直线，这两条直线平行，由线面平行的判定和性质知，两条直线必与两平面的交线平行，由此可作出棱，从而找出二面角的平面角．本题也可补形化得正方体，利用定义，找出二面角的平面角．