题目内容

5．已知长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AB=2，若棱AB上存在点P，使得D1P⊥PC，则AD的取值范围是（　　）
A．[1，2）B．$（{1，\sqrt{2}}]$C．（0，1]D．（0，2）

分析 建立空间直角坐标系，设AD=a，求出$\overrightarrow{{D}_{1}P}$、$\overrightarrow{CP}$，利用$\overrightarrow{{D}_{1}P}$•$\overrightarrow{CP}$=0求出a的范围．

解答 解：如图建立坐标系，
设AD=a（a＞0），AP=x（0＜x＜2），
则P（a，x，2），C（0，2，2），
∴$\overrightarrow{{D}_{1}P}$=（a，x，2），$\overrightarrow{CP}$=（a，x-2，0），
∵D1P⊥PC，
∴$\overrightarrow{{D}_{1}P}$•$\overrightarrow{CP}$=0，
即a2+x（x-2）=0，a=$\sqrt{-{x}^{2}+2x}$=$\sqrt{-（x-1）^{2}+1}$，
当0＜x＜2时，a∈（0，1]．
故选：C．

点评 本题考查棱柱的结构特征，是基础题．

练习册系列答案
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A．4B．3C．2D．1
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