Question

已知函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若不等式有解，求实数m的取值菹围；
（3）证明：当a=0时，．

Answer 1

（1） 参考解析；（2）；（3）参考解析

试题分析：（1）由于 ，．需求的单调区间，通过对函数求导，在讨论的范围即可得函数的单调区间．
（2）本小题可等价转化为，求实数m的取值菹围，使得有解，等价于小于函数，的最小值．所以对函数求导，由导函数的解析式，通过应用基本不等式，即可得到函数的单调性，从而得到最小值．即可得到结论．
（3）由于当时，．本小题解法通过构造．即两个函数与的差，通过等价证明函数的最小值与函数的最大值的差大于2．所以对两个函数分别研究即可得到结论．
（1） 的定义域是，当时，，所以在单调递增；当时，由，解得．则当时． ，所以单调递增．当时，，所以单调递减．综上所述：当时，在单调递增；当时，在上单调递增，在单调递减．
（2）由题意：有解，即有解，因此只需有解即可，设，，因为，且时，所以，即．故在上递减，所以故．
（3）当时，，与的公共定义域为，，设，．因为，在单调递增． ．又设，，．当时，，单调递增，当时，，单调递减．所以为的极大值点，即．故．