题目内容
(Ⅰ)设f(x)=
,求f(1+log
23)的值;
(Ⅱ)已知g(x)=ln[(m
2-1)x
2-(1-m)x+1]的定义域为R,求实数m的取值范围.
考点:分段函数的应用
专题:函数的性质及应用
分析:(I)由1+log23∈(2,3),故f(1+log23)=f(3+log23),进而根据指数的运算性质,可得答案.
(II)若g(x)=ln[(m2-1)x2-(1-m)x+1]的定义域为R,则(m2-1)x2-(1-m)x+1>0(*)在x∈R时恒成立,分m2-1=0和m2-1≠0两种情况结合二次函数的图象和性质,可得满足条件的实数m的取值范围.
解答:解:(Ⅰ)∵1+log
23∈(2,3),
∴
f(1+log23)=f(3+log23)=()3+log23=()3×()log23=×2log2=×=;
(Ⅱ)由题设得:(m
2-1)x
2-(1-m)x+1>0(*)在x∈R时恒成立,
若m
2-1=0⇒m=±1,
当m=1时,(*)式可化为:1>0恒成立,
当m=-1时,(*)式可化为:-2x+1>0不恒成立,
∴m=1;
若m
2-1≠0,
则
⇒⇒m<-或m>1综上,实数m的取值范围是
m<-或m≥1.
点评:本题考查的知识点是分段函数的应用,分类讨论思想的引入是解答的关键.
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