题目内容

(Ⅰ)设f(x)=
f(x+2)(x<4)
(
1
2
)x(x≥4)
,求f(1+log23)的值;

(Ⅱ)已知g(x)=ln[(m2-1)x2-(1-m)x+1]的定义域为R,求实数m的取值范围.
考点:分段函数的应用
专题:函数的性质及应用
分析:(I)由1+log23∈(2,3),故f(1+log23)=f(3+log23),进而根据指数的运算性质,可得答案.
(II)若g(x)=ln[(m2-1)x2-(1-m)x+1]的定义域为R,则(m2-1)x2-(1-m)x+1>0(*)在x∈R时恒成立,分m2-1=0和m2-1≠0两种情况结合二次函数的图象和性质,可得满足条件的实数m的取值范围.
解答:解:(Ⅰ)∵1+log23∈(2,3),
f(1+log23)=f(3+log23)=(
1
2
)3+log23=(
1
2
)3×(
1
2
)log23=
1
8
×2log2
1
3
=
1
8
×
1
3
=
1
24

(Ⅱ)由题设得:(m2-1)x2-(1-m)x+1>0(*)在x∈R时恒成立,
若m2-1=0⇒m=±1,
当m=1时,(*)式可化为:1>0恒成立,
当m=-1时,(*)式可化为:-2x+1>0不恒成立,
∴m=1;
若m2-1≠0,
m2-1>0
△=(1-m)2-4(m2-1)<0
m<-1或m>1
m<-
5
3
或m>1
⇒m<-
5
3
或m>1

综上,实数m的取值范围是m<-
5
3
或m≥1
点评:本题考查的知识点是分段函数的应用,分类讨论思想的引入是解答的关键.
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