题目内容
已知椭圆上的点到其两焦点距离之和为,且过点.
(Ⅰ)求椭圆方程;
(Ⅱ)为坐标原点,斜率为的直线过椭圆的右焦点,且与椭圆交于点,,若,求△的面积.
【答案】
(Ⅰ)(Ⅱ)1
【解析】
试题分析:(Ⅰ)由椭圆的定义及椭圆的几何性质易得, ,即可得其椭圆方程。(Ⅱ)设出直线方程,然后联立,消掉y(或x)得到关于x的一元二次方程,再根据韦达定理得出根与系数的关系式。先求出再将、代入求得的值,由弦长公式求出,再用点到线的距离公式其点到直线的距离,此距离即为△底边上的高。用三角形面积公式可求得△的面积。
试题解析:解(Ⅰ)依题意有,.
故椭圆方程为. 5分
(Ⅱ)因为直线过右焦点,设直线的方程为 .
联立方程组
消去并整理得. (*)
故,.
.
又,即.
所以,可得,即 .
方程(*)可化为,由,可得.
原点到直线的距离.
所以. 13分
考点:1椭圆的基础知识;2直线与椭圆的位置关系;3弦长公式;4点到直线的距离。
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