题目内容
3．函数f（x）=x3+3ax2+3[（a+2）x+1]有极大值又有极小值，则a的取值范围是（ ）| A． | （-1，2） | B． | f（-2，1） | C． | （-∞，-1）∪（2，+∞） | D． | （-∞，-2）∪（1，+∞） |
分析 函数f（x）有极大值又有极小值，可知：f′（x）=0有两个不相等是实数根，因此△＞0，解出即可．
解答 解：f′（x）=3x2+6ax+3（a+2），
∵函数f（x）有极大值又有极小值，
∴f′（x）=0有两个不相等是实数根，
∴△=36a2-36（a+2）＞0，
化为a2-a-2＞0，
解得a＞2或a＜-1．
则a的取值范围是（-∞，-1）∪（2，+∞）．
故选：C．
点评 本题考查了利用导数研究函数的极值问题、一元二次方程的解与判别式的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
练习册系列答案
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8．
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如图所示，五面体ABCDE中，正△ABC的边长为1，AE⊥平面ABC，CD∥AE，且CD=$\frac{1}{2}$AE．设CE与平面ABE所成的角为α，AE=k（k＞0），若α∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{4}$]，则当k取最大值时，平面BDE与平面ABC所成角的正切值为（ ）| A． | $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$ | B． | 1 | C． | $\sqrt{2}$ | D． | $\sqrt{3}$ |
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